数学における循環十進小数 0.999⋯ は、 "1" と同じ数。実数として"0.999⋯"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある。 0.999⋯ は、省略記号の前の 9 の個数を多少増減させて 0.99999⋯ のようにも書くこともある。あるいは循環節を明確にするために 0.9, 0.(9), 0. などのような表記もある。一般に、任意の 0 でない有限小数(を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの)は、末尾に無限個の 9 が連なる値の等しい双子の表示(例えば 8.32 と8.31999⋯)を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 等式 0.999⋯ = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。

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  • 数学における循環十進小数 0.999⋯ は、 "1" と同じ数。実数として"0.999⋯"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある。 0.999⋯ は、省略記号の前の 9 の個数を多少増減させて 0.99999⋯ のようにも書くこともある。あるいは循環節を明確にするために 0.9, 0.(9), 0. などのような表記もある。一般に、任意の 0 でない有限小数(を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの)は、末尾に無限個の 9 が連なる値の等しい双子の表示(例えば 8.32 と8.31999⋯)を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 0.999⋯ と 1 の等価性は、実数の体系(これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である)に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含むもある。そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 0.999⋯ の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999⋯" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。 等式 0.999⋯ = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。 (ja)
  • 数学における循環十進小数 0.999⋯ は、 "1" と同じ数。実数として"0.999⋯"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある。 0.999⋯ は、省略記号の前の 9 の個数を多少増減させて 0.99999⋯ のようにも書くこともある。あるいは循環節を明確にするために 0.9, 0.(9), 0. などのような表記もある。一般に、任意の 0 でない有限小数(を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの)は、末尾に無限個の 9 が連なる値の等しい双子の表示(例えば 8.32 と8.31999⋯)を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 0.999⋯ と 1 の等価性は、実数の体系(これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である)に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含むもある。そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 0.999⋯ の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999⋯" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。 等式 0.999⋯ = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。 (ja)
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  • 数学における循環十進小数 0.999⋯ は、 "1" と同じ数。実数として"0.999⋯"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある。 0.999⋯ は、省略記号の前の 9 の個数を多少増減させて 0.99999⋯ のようにも書くこともある。あるいは循環節を明確にするために 0.9, 0.(9), 0. などのような表記もある。一般に、任意の 0 でない有限小数(を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの)は、末尾に無限個の 9 が連なる値の等しい双子の表示(例えば 8.32 と8.31999⋯)を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 等式 0.999⋯ = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。 (ja)
  • 数学における循環十進小数 0.999⋯ は、 "1" と同じ数。実数として"0.999⋯"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある。 0.999⋯ は、省略記号の前の 9 の個数を多少増減させて 0.99999⋯ のようにも書くこともある。あるいは循環節を明確にするために 0.9, 0.(9), 0. などのような表記もある。一般に、任意の 0 でない有限小数(を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの)は、末尾に無限個の 9 が連なる値の等しい双子の表示(例えば 8.32 と8.31999⋯)を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 等式 0.999⋯ = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。 (ja)
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