About: 臨界点 (数学)

数学において、あるいは複素変数の可微分関数の臨界点（りんかいてん、英: critical point）あるいは停留点（ていりゅうてん、英: stationary point）とは、微分が 0となる定義域内の任意の値である。に対して、臨界点はすべての偏微分が 0 になるような定義域内の値である。関数の臨界点における値は臨界値（りんかいち、英: critical value）である。 この概念の興味は、関数が極値をとる点は臨界点であるという事実にある。 この定義は Rm と Rn の間の可微分写像に拡張し、臨界点はこの場合ヤコビ行列の階数が最大でない点である。さらに、可微分多様体の間の可微分写像にも同様に拡張される。この場合、臨界点は とも呼ばれる。 特に、C が陰方程式 f(x, y) = 0 で定義される平面曲線のとき、y 軸に平行な x 軸への射影の臨界点は C の接線が y 軸に平行な点、つまり、 なる点である。言い換えると、臨界点は陰関数定理が適用できない点である。 臨界点の概念により、コペルニクスの時代より前には解明されなかった天文学の現象の数学的記述ができる。惑星の軌道の停留点は天球上の惑星の軌道の点であって惑星の動きが他の方向に再出発する前に止まるように見える点である。これは、への軌道の射影の臨界点のために起こる。