About: 最小多項式 (体論)

数学の分野である体論において、最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）は体の拡大 E/F と拡大体 E の元に対して定義される。元の最小多項式は、存在すれば、x を変数とする F 上の多項式環 F[x] の元である。E の元 α が与えられたとき、Jα を f(α) = 0 なる F[x] のすべての多項式 f(x) の集合とする。元 α は Jα の各多項式の根あるいは零点と呼ばれる。集合 Jα は F[x] のイデアルであるからそのように名づけられている。すべての係数が 0 である零多項式は、すべての α と i に対し 0αi = 0 であるから、すべての Jα に属している。そのため零多項式は異なる値の α を分類するには役に立たないから、除外される。Jα に零でない多項式が存在すれば、α は F 上代数的な元と呼ばれ、Jα の中に最小次数のモニック多項式が存在する。これが E/F に関しての α の最小多項式である。これは一意的で、F 上既約である。零多項式が Jα の唯一の元であれば、α は F 上超越的な元と呼ばれ、E/F に関して最小多項式は存在しない。