About: 多項式の内容と原始多項式

代数学における多項式の内容（ないよう、英: content; 容量）は、与えられた多項式のすべての係数の最大公約数を言い、内容が 1 に等しい多項式は原始多項式（げんしたこうしき、英: primitive polynomial）であるという。この場合の多項式は、整係数（あるいはより一般にUFDなど、最大公約数の定義できる整域（GCD整域））で考えるものとする。 任意の多項式は、その内容と原始多項式の積として（係数環の単元を掛ける違いを除いて）一意に表される（内容–原始成分分解）。このとき、原始多項式となる因子を、この多項式の原始成分 (primitive part) と呼ぶ。すなわち、多項式をその内容で割ったものがその多項式の原始成分であり、原始多項式の原始成分はもとの原始多項式そのものである。 は、(同じUFDを係数環とする)原始多項式の積がふたたび原始多項式となることを述べるものである。これはしたがって、多項式の積の内容および積の原始成分は、それぞれ内容の積および原始成分の積に等しいことを意味する。 係数の最大公約数を計算することは多項式の因数分解の計算よりも極めて計算量が低いから、多項式の因数分解を行うためのアルゴリズムでは一般には真っ先に内容–原始成分分解を行うべきである（これにより、多項式の因数分解問題は、内容および原始成分の分解問題に分割して帰着される）。