About: 双複素数

抽象代数学における双複素数（そうふくそすう、英: bi­complex number; 複複素数）とは、複素数の順序対 (w, z) としてケーリー＝ディクソン構成から得られる。ここに、双複素数の共軛が (w, z)* ≔ (w, −z) で、また二つの双複素数の積が で与えられている。 さらに双複素数 t ≔ (w, z) に対する双複素ノルム N(t) が N(t) ≔ t*t = (w, −z)(w, z) = (w2 + z2 , 0) で与えられる。これは第一成分が計量を与える二次形式となっていることに注意。 双複素数の全体は、複素数体 ℂ 上二次元の多元環で、多元環の直和 ℂ ⊕ ℂ に同型である。 双複素数のノルムは合成性質（乗法性）を持つ。すなわち、ふたつの双複素数の積に対する二次形式は、個々の双複素数に対する二次形式同士の積に等しい: N(st) = N(s)N(t)。二次形式の積に関するこの性質を示した式はブラフマグプタ–フィボナッチの等式と呼ばれる。双複素数のノルムがこの性質を満たすことは、双複素数全体の成す環が合成代数を成すことを言うものである。実は、双複素数環は複素数体 ℂ とその上の二次形式 z2 を一元数とするケイリー–ディクソン構成において二元数として生じる。