About: 有理標準形

線形代数学において、体 F の元を成分とする正方行列 A の有理標準形（ゆうりひょうじゅんけい、英: rational (canonical) form）あるいはフロベニウス標準形（ふろべにうすひょうじゅんけい、英: Frobenius normal form）とは、体 F 上で相似な行列のである。この標準形は、自然に作用するベクトル空間の行列 A に関して巡回的な（つまり、あるベクトル v と A の冪による像 Av, A2v, … により生成される）部分空間への極小分解を反映したものである。所与の正方行列からは唯一つの標準形しか得られず（それゆえ〈標準的〉で）、また正方行列 A, B が互いに相似となるのは A, B の有理標準形が一致するとき、かつそのときに限る。また、この標準形は行列成分の有理演算のみに依って（それゆえ〈有理的〉に）見つけることができる。とりわけジョルダン標準形とは異なり多項式の分解を必要とせず、これは行列の相似性が体の拡大に関して不変であることを示している。この標準形の名前はドイツの数学者ゲオルク・フロベニウスに因む。