数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間（例えば無限次元ノルム空間）上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像（ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous linear function）が存在するのである。定義域が完備ならば、不連続線型写像の存在が証明できるが、それには選択公理を必要とするため、証明から明示的な例を得ることはできない。
