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- 複素解析では、ルンゲの定理（英: Runge's theorem）（ルンゲの近似定理（英: Runge's approximation theorem）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。 C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 が存在し、函数 のすべての極は A の元である。 A のすべての複素数が有理函数列 の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。 この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。 が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。 が連結集合であるような C のコンパクト部分集合を K として、f が K 上の正則函数であれば、K 上で f に一様収束する多項式の列 が存在する。 ルンゲの定理は次のように一般化される。A をリーマン球面 C∪{∞} の部分集合とし、A が K の非有界な連結成分（∞ を含む）と交わるとすると、上の定式化において、有理函数は無限遠点に極を持つことが分かる。一方、さらに一般的な定式化の中では、極は K の非有界な連結成分のどこにでも選ぶことができる。 (ja)
- 複素解析では、ルンゲの定理（英: Runge's theorem）（ルンゲの近似定理（英: Runge's approximation theorem）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。 C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 が存在し、函数 のすべての極は A の元である。 A のすべての複素数が有理函数列 の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。 この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。 が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。 が連結集合であるような C のコンパクト部分集合を K として、f が K 上の正則函数であれば、K 上で f に一様収束する多項式の列 が存在する。 ルンゲの定理は次のように一般化される。A をリーマン球面 C∪{∞} の部分集合とし、A が K の非有界な連結成分（∞ を含む）と交わるとすると、上の定式化において、有理函数は無限遠点に極を持つことが分かる。一方、さらに一般的な定式化の中では、極は K の非有界な連結成分のどこにでも選ぶことができる。 (ja)
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- 複素解析では、ルンゲの定理（英: Runge's theorem）（ルンゲの近似定理（英: Runge's approximation theorem）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。 C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 が存在し、函数 のすべての極は A の元である。 A のすべての複素数が有理函数列 の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。 この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。 が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。 (ja)
- 複素解析では、ルンゲの定理（英: Runge's theorem）（ルンゲの近似定理（英: Runge's approximation theorem）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。 C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 が存在し、函数 のすべての極は A の元である。 A のすべての複素数が有理函数列 の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。 この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。 が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。 (ja)
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