About: クレイン＝ミルマンの定理

数学の函数解析学の分野において、クレイン＝ミルマンの定理（クレイン＝ミルマンのていり、英: Krein–Milman theorem）とは、位相ベクトル空間内の凸集合に関するある命題である。この定理の容易に可視化できる特別な場合では、与えられた凸多角形に対し、その角の部分だけで全体の形を復元できるということが述べられている。しかしその多角形が凸でない場合には、角として与えられた点から多角形を描く方法が多く存在し得るため、この定理の内容は偽となる。 正式には、 を（ハウスドルフと仮定される）局所凸位相ベクトル空間とし、 を のコンパクトな凸部分集合とするとき、 はその極点の閉凸包となることが、この定理では主張されている。 上述の閉凸包は、 を含むすべての の閉部分集合の共通部分として定義される。そしてそれは、位相ベクトル空間内の凸包の閉包と等しいことが知られている。定理の証明は、ある部分では容易であるが、「十分な」極点の存在を示すという点に主な難しさがある。 マルク・クレインとによって証明された元の定理の内容は、ここで述べたものより若干一般性に欠けるものとなっている。