About: レイリー商

数学における、与えられた複素エルミート行列 M と零でないベクトル x に対するレイリー商（れいりーしょう、英: Rayleigh quotient）またはレイリー・リッツ比（レイリー・リッツひ、英: Rayleigh–Ritz ratio）は次のように定義される： 名称は物理学者のレイリー卿とヴァルター・リッツに因む。 実行列および実ベクトルについて、エルミート行列である条件は対称行列である条件に、共役転置 x* は単なる転置 xT に一致し、また任意の零でない実スカラー c に対してレイリー商は R(M, cx) = R(M, x) を満たす。エルミート（または実対称）行列の性質より、その固有値は実数であるから、レイリー商 R(M, x) の最小値は行列 M の最小の固有値 λmin に等しく、このときベクトル x は最小固有値に対応する固有ベクトル vmin に等しい。同様にレイリー商の最大値は行列 M の最大固有値 λmax に等しく、このときベクトル x は最大固有値に対応する固有ベクトル vmax に等しい。 レイリー商はにおいて行列のすべての固有値の厳密な値を求めることに利用される。また固有値計算アルゴリズムにおいて近似的な固有ベクトルから固有値の近似値を求めることにも利用される。具体的には、に基づく。