About: スペクトル (関数解析学)

関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、λI − T が可逆でなければ、λ ∈ C を有界線形作用素 T のスペクトルという。ただし I は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。 有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ2 上では、右シフト作用素 , は固有値を持たない。 固有値をもつ、つまり Rx = λx を満たすような 0 でない λ が存在するとすると、 となる。一方で、R − 0（つまり R 自身）は可逆ではない。つまり、ゼロでない第一成分が含まれていないような任意のベクトルについて R は全射ではないので、λ = 0 はスペクトルの元である。 実際、複素バナッハ空間上の任意の有界線形作用素は、必ず空でないスペクトルを持つ。 有界作用素は、スペクトルの厳密な定義に従えば、バナッハ環の構成要素と考えることもできる。スペクトルの概念は、非有界作用素に拡張することができる。有界でない場合、スペクトルに関して良い性質を得るために、作用素は閉じている必要があることも多い。