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- 数学の特に群論における有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、英: structure theorem of finite abelian group）または有限アーベル群の基本定理は、任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、 によって示された。この定理は有限生成アーベル群の構造定理の特別の場合として、さらに単因子定理すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。 (ja)
- 数学の特に群論における有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、英: structure theorem of finite abelian group）または有限アーベル群の基本定理は、任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、 によって示された。この定理は有限生成アーベル群の構造定理の特別の場合として、さらに単因子定理すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。 (ja)
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- の位数 に関する帰納法により示す。
; 分解の存在: のときは空列を取ればよい。 として、位数が より真に小さい任意の有限アーベル群に対して所期の分解が存在すると仮定する。 を位数 の有限アーベル群、 をその冪数とすれば、により は位数 の巡回部分群 を持ち、（補題 1 により）適当な部分群 により と書ける。帰納法の仮定により、 は適当な巡回部分群の列 の直積であり、 に対して の位数は の位数を割り切る。さらに、 および の定義により の位数は の位数を割り切る。
; 分解の一意性: のときはよい。 のとき、位数が より真に小さい任意の有限アーベル群に対して所期の分解の一意性が成り立つと仮定する。 を位数 の有限アーベル群とし、 の所期の直積分解が と二通りに、各直積因子の位数の列 が所期の整除条件を満たすように与えられたとする。 を の生成元とし、第二の分解における の成分を とすれば、 の位数は の冪数 に等しいのだから、少なくとも一つの添字 が存在して が位数 となる（このとき となることに注意せよ）。第二の分解における を で置き換えても、和はやはり直積であり、等式 も保たれる。 による商をとれば を得て、（帰納法の仮定により） が成り立ち、したがって を得る。 (ja)
- の位数 に関する帰納法により示す。
; 分解の存在: のときは空列を取ればよい。 として、位数が より真に小さい任意の有限アーベル群に対して所期の分解が存在すると仮定する。 を位数 の有限アーベル群、 をその冪数とすれば、により は位数 の巡回部分群 を持ち、（補題 1 により）適当な部分群 により と書ける。帰納法の仮定により、 は適当な巡回部分群の列 の直積であり、 に対して の位数は の位数を割り切る。さらに、 および の定義により の位数は の位数を割り切る。
; 分解の一意性: のときはよい。 のとき、位数が より真に小さい任意の有限アーベル群に対して所期の分解の一意性が成り立つと仮定する。 を位数 の有限アーベル群とし、 の所期の直積分解が と二通りに、各直積因子の位数の列 が所期の整除条件を満たすように与えられたとする。 を の生成元とし、第二の分解における の成分を とすれば、 の位数は の冪数 に等しいのだから、少なくとも一つの添字 が存在して が位数 となる（このとき となることに注意せよ）。第二の分解における を で置き換えても、和はやはり直積であり、等式 も保たれる。 による商をとれば を得て、（帰納法の仮定により） が成り立ち、したがって を得る。 (ja)
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- 数学の特に群論における有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、英: structure theorem of finite abelian group）または有限アーベル群の基本定理は、任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、 によって示された。この定理は有限生成アーベル群の構造定理の特別の場合として、さらに単因子定理すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。 (ja)
- 数学の特に群論における有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、英: structure theorem of finite abelian group）または有限アーベル群の基本定理は、任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、 によって示された。この定理は有限生成アーベル群の構造定理の特別の場合として、さらに単因子定理すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。 (ja)
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- 有限アーベル群の構造定理 (ja)
- 有限アーベル群の構造定理 (ja)
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