:
を証明する。
a と b が平行の場合、等式が成り立つのは自明。
以下、a と b が平行でないとする。
スカラー三重積の反対称性より
:
すなわち、a×b は a および b に垂直である。同様に ×c
も a×b に垂直だから、 ×cとa と b は線形従属であり、同一平面内にある 。 ここで、 a と b は一次独立なので、μ, ν を未定のスカラーとして
:
と書ける。
また、 ×c は c にも垂直だから、
:
よって
:
とおけ、
:
と書ける。ただし、λ は a, b, c に依存するスカラーである。
ここで
×c
および
b - a
は共に a, b, c それぞれに対して線形なので、 λ は定数でなければいけない。更に
a=ex,
b=ey,
c=ex
を代入すると、λ = 1が得られる。
よって
:
が導かれた。 (ja)
