About: セルバーグゼータ函数

セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグAtle Selberg により導入された。有名なリーマンゼータ函数 の類似で、ここに は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。 を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。 あるいは、 ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。 有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。 セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。 ゼロ点は次のような点である。 1. * 固有値 を持つ全てのカスプ形式に対し、点 にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。） 2. * ゼータ函数は散乱行列 の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。 ゼータ函数は、 で極をもち、点 で、極、もしくはゼロ点を持つ。