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- 数学の線型代数学における行列式の明示公式 (英: explicit formula)あるいはライプニッツの公式 (英: Leibniz formula) とは、正方行列の行列式をその行列の成分と置換を用いて陽に表したものである。ゴットフリート・ライプニッツに敬意を表してこの名がある。 明示公式n次正方行列 A に対して、その (i, j)成分を ai,j で表すと、その行列式 det(A) は次の式で表せる：ここに sgn は置換群 Sn に属する置換に対する符号を与える函数である。 物理学などではレヴィ゠チヴィタ記号 ε とアインシュタインの和の規約に則り のように表すこともよくある。 ライプニッツの公式によって行列式を定義する場合、式に従って行列式を直接計算しようとすれば、その計算量は一般に Ω(n!⋅n)—つまり計算回数は n の階乗に漸近的に比例—となる（長さ n の置換の総数は n! であったことを思い出そう）。これは n が大きければそのような計算は実用的でないことを意味している。それでも、（典型的にはガウス消去法などを通じて）LU分解 A = LU が得られているならば、計算量は O(n3) まで抑えられる—なぜならば、det(A) = det(L)det(U) であり、また L, U は三角行列であるからそれらの行列式は単に対角成分を全て掛けるだけで求められる（ただし、数値線形代数での実用的な応用で明示公式を用いることは稀である）。例えば などを見よ。 (ja)
- 数学の線型代数学における行列式の明示公式 (英: explicit formula)あるいはライプニッツの公式 (英: Leibniz formula) とは、正方行列の行列式をその行列の成分と置換を用いて陽に表したものである。ゴットフリート・ライプニッツに敬意を表してこの名がある。 明示公式n次正方行列 A に対して、その (i, j)成分を ai,j で表すと、その行列式 det(A) は次の式で表せる：ここに sgn は置換群 Sn に属する置換に対する符号を与える函数である。 物理学などではレヴィ゠チヴィタ記号 ε とアインシュタインの和の規約に則り のように表すこともよくある。 ライプニッツの公式によって行列式を定義する場合、式に従って行列式を直接計算しようとすれば、その計算量は一般に Ω(n!⋅n)—つまり計算回数は n の階乗に漸近的に比例—となる（長さ n の置換の総数は n! であったことを思い出そう）。これは n が大きければそのような計算は実用的でないことを意味している。それでも、（典型的にはガウス消去法などを通じて）LU分解 A = LU が得られているならば、計算量は O(n3) まで抑えられる—なぜならば、det(A) = det(L)det(U) であり、また L, U は三角行列であるからそれらの行列式は単に対角成分を全て掛けるだけで求められる（ただし、数値線形代数での実用的な応用で明示公式を用いることは稀である）。例えば などを見よ。 (ja)
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- 行列式に対するライプニッツの明示公式 (ja)
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