About: マーラーのコンパクト性定理

数学におけるマーラーのコンパクト性定理（マーラーのコンパクトせいていり、英: Mahler's compactness theorem）は、Kurt Mahler によって証明されたユークリッド空間内の格子に関する基本的な結果で、ある意味において「有界」であるような格子の集合を特徴付けるものである。別の見方をすれば、この定理では格子がある列において退化（無限大に向かう）しうる方法について説明されている。直感的に言うと、そのようなことが起こる可能性として次の二つが考えられる：体積よりも大きいを伴って目の粗い（coarse-grained）ものになるか、あるいはより小さいベクトルを含むようになるか、である。この定理はまた、点列コンパクト性（収束部分列を選ぶことが出来る性質）の用語でかつて表現されていたため、コンパクト性定理の名付け方に関する古い慣習に従って、マーラーの選出定理（selection theorem）とも呼ばれている。 X を 内の格子をパラメータ化する空間 で、商位相を伴うものとする。このとき、行列の行列式の絶対値で与えられる well-defined な X 上の函数 Δ が存在する。可逆な整数行列で行列式が 1 あるいは −1 となるものが存在するため、この函数は剰余類の上では定数となる。