About: ヒルベルト–ポワンカレ級数

数学、とくに代数学の分野において、ヒルベルト–ポワンカレ級数 (Hilbert–Poincaré series)（と呼ばれることもある）は、次数付き代数的構造の文脈に次元の概念を適応したものである（構造全体はしばしば無限次元である）。ダヴィット・ヒルベルト (David Hilbert) とアンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) にちなんで名づけられている。ヒルベルト–ポワンカレ級数は、一つのパラメータ（t とする）の形式的冪級数であり、tn の係数が n 次斉次元全体のなす部分構造の次元（あるいは階数）で与えられる。ヒルベルト–ポワンカレ級数は、ヒルベルト多項式が存在するときこれと密接に関係する。しかしながら、ヒルベルト–ポワンカレ級数はすべての次数において階数を記述する一方、ヒルベルト多項式は有限個を除くすべての次数でしか記述せず、したがって与えてくれる情報が少ない。とくに、ヒルベルト–ポワンカレ級数は、ヒルベルト多項式が存在するときでさえ後者から導くことができない。良い場合には、ヒルベルト–ポワンカレ級数は変数 t の有理関数として表せる。