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- ガウス求積（ガウスきゅうせき、英: Gaussian quadrature）またはガウスの数値積分公式とは、カール・フリードリヒ・ガウスに因んで名づけられた数値解析における数値積分法の一種であり、実数のある閉区間(慣例的に [−1, 1] に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができるアルゴリズムである。 n を正の整数とし、f(x) を 任意の多項式関数とする。f(x) の [−1, 1] に渡る定積分値 I を、 の形でなるべく正確に近似する公式を考える。ここで、xi は積分点またはガウス点 (ガウスノード)と呼ばれる [−1, 1] 内の n 個の点であり、wi は重みと呼ばれるn個の実数である。 実は、n 次のルジャンドル多項式の n 個の零点（これらは全て [−1, 1] 内にある）を積分点として選び、wi を適切に選ぶと、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが示せる。この場合、wi は f(x) によらず一意的に定まる。この方法を n 次のガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している。 f(x) が 2n − 1次を超える多項式関数の場合、または多項式関数でない場合には、上記の公式は厳密には成立しないが、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上記の公式を f(x) に対して適用することにより、その [−1, 1] における定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外のたとえば、特異点のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、被積分関数を f(x) = W(x) g(x) と表すことができて、g(x) が多項式で近似できて、W(x) が既知の関数（重み関数、通常は正値関数）であれば、それに対応する適切な離散的重み wi を使って次のように表せる。 典型的な重み関数としては、（ガウス–チェビシェフ）や （ガウス–エルミート）がある。この場合の n 個の積分点 xi はルジャンドル多項式と同様に、ある直交多項式のクラスに属する n 次多項式の根である。 重み関数と指定区間に付随するn次の直交多項式を考え、それの区間内にあるn個の零点を分点にとして被積分関数f(x)をHermite補間公式で近似したものを考えると、直交多項式の重み関数に対する直交性から、f(x)に重み関数を掛けて積分したものは、直交関数のn個の零点に於けるf(x)の関数値それぞれに重みをかけたものの和で近似される（結果的にf(x)の各分点における導関数値は積分の近似値には寄与しない）。このようにして重み関数に対応するガウス型の数値積分公式を導くことができて、分点がnであるときには被積分関数が2n−1次以下の任意の多項式に対して正確な積分値を与えるということが示せる. (ja)
- ガウス求積（ガウスきゅうせき、英: Gaussian quadrature）またはガウスの数値積分公式とは、カール・フリードリヒ・ガウスに因んで名づけられた数値解析における数値積分法の一種であり、実数のある閉区間(慣例的に [−1, 1] に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができるアルゴリズムである。 n を正の整数とし、f(x) を 任意の多項式関数とする。f(x) の [−1, 1] に渡る定積分値 I を、 の形でなるべく正確に近似する公式を考える。ここで、xi は積分点またはガウス点 (ガウスノード)と呼ばれる [−1, 1] 内の n 個の点であり、wi は重みと呼ばれるn個の実数である。 実は、n 次のルジャンドル多項式の n 個の零点（これらは全て [−1, 1] 内にある）を積分点として選び、wi を適切に選ぶと、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが示せる。この場合、wi は f(x) によらず一意的に定まる。この方法を n 次のガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している。 f(x) が 2n − 1次を超える多項式関数の場合、または多項式関数でない場合には、上記の公式は厳密には成立しないが、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上記の公式を f(x) に対して適用することにより、その [−1, 1] における定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外のたとえば、特異点のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、被積分関数を f(x) = W(x) g(x) と表すことができて、g(x) が多項式で近似できて、W(x) が既知の関数（重み関数、通常は正値関数）であれば、それに対応する適切な離散的重み wi を使って次のように表せる。 典型的な重み関数としては、（ガウス–チェビシェフ）や （ガウス–エルミート）がある。この場合の n 個の積分点 xi はルジャンドル多項式と同様に、ある直交多項式のクラスに属する n 次多項式の根である。 重み関数と指定区間に付随するn次の直交多項式を考え、それの区間内にあるn個の零点を分点にとして被積分関数f(x)をHermite補間公式で近似したものを考えると、直交多項式の重み関数に対する直交性から、f(x)に重み関数を掛けて積分したものは、直交関数のn個の零点に於けるf(x)の関数値それぞれに重みをかけたものの和で近似される（結果的にf(x)の各分点における導関数値は積分の近似値には寄与しない）。このようにして重み関数に対応するガウス型の数値積分公式を導くことができて、分点がnであるときには被積分関数が2n−1次以下の任意の多項式に対して正確な積分値を与えるということが示せる. (ja)
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- ガウス求積（ガウスきゅうせき、英: Gaussian quadrature）またはガウスの数値積分公式とは、カール・フリードリヒ・ガウスに因んで名づけられた数値解析における数値積分法の一種であり、実数のある閉区間(慣例的に [−1, 1] に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができるアルゴリズムである。 n を正の整数とし、f(x) を 任意の多項式関数とする。f(x) の [−1, 1] に渡る定積分値 I を、 の形でなるべく正確に近似する公式を考える。ここで、xi は積分点またはガウス点 (ガウスノード)と呼ばれる [−1, 1] 内の n 個の点であり、wi は重みと呼ばれるn個の実数である。 実は、n 次のルジャンドル多項式の n 個の零点（これらは全て [−1, 1] 内にある）を積分点として選び、wi を適切に選ぶと、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが示せる。この場合、wi は f(x) によらず一意的に定まる。この方法を n 次のガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している。 (ja)
- ガウス求積（ガウスきゅうせき、英: Gaussian quadrature）またはガウスの数値積分公式とは、カール・フリードリヒ・ガウスに因んで名づけられた数値解析における数値積分法の一種であり、実数のある閉区間(慣例的に [−1, 1] に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができるアルゴリズムである。 n を正の整数とし、f(x) を 任意の多項式関数とする。f(x) の [−1, 1] に渡る定積分値 I を、 の形でなるべく正確に近似する公式を考える。ここで、xi は積分点またはガウス点 (ガウスノード)と呼ばれる [−1, 1] 内の n 個の点であり、wi は重みと呼ばれるn個の実数である。 実は、n 次のルジャンドル多項式の n 個の零点（これらは全て [−1, 1] 内にある）を積分点として選び、wi を適切に選ぶと、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが示せる。この場合、wi は f(x) によらず一意的に定まる。この方法を n 次のガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している。 (ja)
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