About: ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ（ナビエ–ストークスほうていしきのかいのそんざいとなめらかさ、英語: Navier–Stokes existence and smoothness）問題は、（例えば乱流のような）流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体（つまり、液体や気体）の運動を記述する。ナビエ–ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ–ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。 ナビエ–ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているかということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題を解の存在と滑らかさの問題という。 次のステートメントを証明、もしくは反例を挙げよ: 3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義される。