About: アルティン加群

抽象代数学において、アルティン加群（英: Artinian module）とは、部分加群について降鎖条件を満たす加群のことである。アルティン加群と加群の関係は、アルティン環の環に対する関係と同様であり、環がアルティン的なのはそれが（左または右からの積によって）それ自身の上の加群としてアルティン的であるとき、かつそのときに限る。これらの概念はエミール・アルティンにちなんで名づけられている。 選択公理のもと、降鎖条件は極小条件と同値であり、これを代わりに定義に使ってもよい。 ネーター加群と同様、アルティン加群は次の遺伝的な性質をもつ。 * M がアルティン的な R-加群ならば、その任意の部分加群と任意の剰余加群もアルティン的である。 逆も成り立つ。 * M が R-加群、N がその部分加群でアルティン的、かつ M/N もアルティン的ならば、M もアルティン的である。 この結果、アルティン環上の有限生成加群はアルティン的である。アルティン環はネーター環であり、ネーター環上有限生成加群はネーター的なので、アルティン環上有限生成加群はネーター的かつアルティン的であり、有限の長さをもつ。しかしながら、R がアルティン的でなければ、あるいは M が有限生成でなければ、がある。