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Statements

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dbpedia-ja:ルベーグの密度定理
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dbpedia-ja:ルベーグの密度定理
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ルベーグの密度定理
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数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」（つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。 μ を Rn 上のルベーグ測度とし、 A を Rn のルベーグ可測な部分集合とする。Rnの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。 ここで、Bεは x を中心とする半径 ε の閉球体である。 ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度 が存在してそれが 1 に等しいと主張する。 言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、Rn のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(Rn ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような Rn の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。 密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。
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n6:数学に関する記事 dbpedia-ja:空集合 dbpedia-ja:数学 dbpedia-ja:ほとんど至るところ dbpedia-ja:境界_(位相空間論) n6:アンリ・ルベーグ dbpedia-ja:零集合 dbpedia-ja:無視できる n6:測度論 dbpedia-ja:ルベーグの微分定理 n6:積分法 dbpedia-ja:ルベーグ測度 n6:数学のエポニム
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Lebesgue density theorem
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数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」（つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。 μ を Rn 上のルベーグ測度とし、 A を Rn のルベーグ可測な部分集合とする。Rnの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。 ここで、Bεは x を中心とする半径 ε の閉球体である。 ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度 が存在してそれが 1 に等しいと主張する。 言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、Rn のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(Rn ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような Rn の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。 密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。 ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。
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wikipedia-ja:ルベーグの密度定理
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dbpedia-ja:ルベーグの微分定理
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dbpedia-ja:ルベーグの密度定理
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dbpedia-ja:局所可積分函数
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dbpedia-ja:ルベーグの密度定理