| Property |
Value |
| dbo:abstract
|
- 実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）expa は、実数 x を実数 ax へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を an へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。 これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。 より一般に、適当なスカラー倍 N⋅ax も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。 (ja)
- 実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）expa は、実数 x を実数 ax へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を an へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。 これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。 より一般に、適当なスカラー倍 N⋅ax も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。 (ja)
|
| dbo:thumbnail
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 10357 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| prop-ja:continue
|
- 有理数の全体で定義された函数 が単調なること、および数列 が に収斂することは容易にわかる。したがって上記の函数方程式により、この函数が 上となることが示され、連続性により へ延長する。連続性および稠密性により、この への延長はもとの函数方程式を満足する。 (ja)
- このような構成は、または指数函数的減衰と呼ばれる現象に極めて自然に対応する。
* 例 1: 人口が10年ごとに30%増える場面を想像しよう。1900年における人口が のとき、1910年, 1920年, …… の人口は簡単に , , …… と計算でき、 10年後には となる。1890年, 1880年, …… の人口さえも計算できて , , …… となる。
* 例 2: 炭素14は放射性崩壊の半減期 年を持つ（つまり、 年ごとに放射性粒子の数が半分になる）。ある時点で測った放射性粒子の数が ならば、 周期後には放射性粒子の数は しかない。
考えたい問題は、2つの測定時点 の「間」における人口や放射性粒子の数を決定すること、したがって「整数の間の穴を埋める」方法を知ることである。そのような試みは -乗根によって成すことができる。つまり、人口が10年で 倍になるとき、1年ごとに何倍になるかを決定しようと思うならば、その倍率は を満たす実数 , すなわち である。 (ja)
- 和を積に写す連続函数が微分可能でなければならないことを見るために、連続函数は原始函数を持つという事実を用いる。 の原始函数の一つを とすれば、 と書けて、これはまた とも書ける。函数 は真に正値であるから、 は狭義単調増大で、したがって は零でない。この二つの等式を比較して と書くことができ、これは を可微分函数の線型結合として表すものであるから、 は微分可能である。
函数方程式 の両辺を で微分すれば となるから、 として を得る。 (ja)
- 有理数の全体で定義された函数 が単調なること、および数列 が に収斂することは容易にわかる。したがって上記の函数方程式により、この函数が 上となることが示され、連続性により へ延長する。連続性および稠密性により、この への延長はもとの函数方程式を満足する。 (ja)
- このような構成は、または指数函数的減衰と呼ばれる現象に極めて自然に対応する。
* 例 1: 人口が10年ごとに30%増える場面を想像しよう。1900年における人口が のとき、1910年, 1920年, …… の人口は簡単に , , …… と計算でき、 10年後には となる。1890年, 1880年, …… の人口さえも計算できて , , …… となる。
* 例 2: 炭素14は放射性崩壊の半減期 年を持つ（つまり、 年ごとに放射性粒子の数が半分になる）。ある時点で測った放射性粒子の数が ならば、 周期後には放射性粒子の数は しかない。
考えたい問題は、2つの測定時点 の「間」における人口や放射性粒子の数を決定すること、したがって「整数の間の穴を埋める」方法を知ることである。そのような試みは -乗根によって成すことができる。つまり、人口が10年で 倍になるとき、1年ごとに何倍になるかを決定しようと思うならば、その倍率は を満たす実数 , すなわち である。 (ja)
- 和を積に写す連続函数が微分可能でなければならないことを見るために、連続函数は原始函数を持つという事実を用いる。 の原始函数の一つを とすれば、 と書けて、これはまた とも書ける。函数 は真に正値であるから、 は狭義単調増大で、したがって は零でない。この二つの等式を比較して と書くことができ、これは を可微分函数の線型結合として表すものであるから、 は微分可能である。
函数方程式 の両辺を で微分すれば となるから、 として を得る。 (ja)
|
| prop-ja:drop
| |
| prop-ja:title
|
- 詳細 (ja)
- 例 (ja)
- Definition:Power /Real Number (ja)
- Exponential function, real (ja)
- proof of growth of exponential function (ja)
- 方法 2. (ja)
- 詳細 (ja)
- 例 (ja)
- Definition:Power /Real Number (ja)
- Exponential function, real (ja)
- proof of growth of exponential function (ja)
- 方法 2. (ja)
|
| prop-ja:urlname
|
- Definition:Power_/Real_Number (ja)
- Exponential_function,_real (ja)
- ProofOfGrowthOfExponentialFunction (ja)
- Definition:Power_/Real_Number (ja)
- Exponential_function,_real (ja)
- ProofOfGrowthOfExponentialFunction (ja)
|
| prop-ja:wikiPageUsesTemplate
| |
| dct:subject
| |
| rdfs:comment
|
- 実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）expa は、実数 x を実数 ax へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を an へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。 これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。 より一般に、適当なスカラー倍 N⋅ax も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。 (ja)
- 実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）expa は、実数 x を実数 ax へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を an へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。 これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。 より一般に、適当なスカラー倍 N⋅ax も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。 (ja)
|
| rdfs:label
|
- 底に関する指数函数 (ja)
- 底に関する指数函数 (ja)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:depiction
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageDisambiguates
of | |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is owl:sameAs
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
.svg?width=300)
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}