About: リースポテンシャル

数学におけるリースポテンシャル（英: Riesz potential）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のは複数変数へと一般化される。 0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。 (1) ただしこの定数は次で与えられる。 このは、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式（） によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。 リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る： ここで Kα は局所可積分函数 フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはであることが分かる。実際、 であるので、畳み込み定理より が得られる。 リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす： ただし が成立する。