About: ジェネリックフィルター

数学の集合論における、ジェネリックフィルターとは、強制法の理論で使われる対象の一種で、そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題のZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。 例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば連続体仮説(実数全体の集合の濃度が である)を証明することができないということを示すのに使った。コーエンの証明は、 の値を変えることなしに、 より多くの実数を生成するジェネリックフィルターを構成することによって為された。 形式的には、P を半順序として、F を P 上のフィルターとする。すなわち、F は P の部分集合で、 1. * F は空でない 2. * p,q∈P で、 p≤q で、 p が F の要素なら、q もF の要素(F は上に閉じている) 3. * p と q が Fの要素なら、Fの要素rで、r≤p かつ r≤q となるものが存在する。(F の任意の二要素は両立 する。) を満たす。 D を P の稠密部分集合の族とする。フィルターF が D-ジェネリック であるとは、F が Dの要素の全てと交わりを持つこと、すなわち、 for all E ∈ D となることである。 for all D ∈ M となることである。