About: ザイフェルト曲面

ザイフェルト曲面またはザイフェルト膜とは、結び目（あるいは絡み目、以下同様）を境界に持つような向き付け可能（つまり表裏のある）曲面である。より正確には以下の通りである： R3（またはS3など）内の境界を持つコンパクトかつ向き付け可能な二次元曲面 Ω が結び目 K のザイフェルト曲面であるとは、 ∂Ω = K 、すなわち Ω の境界が結び目 K になっているときをいう。例えば円盤D2は自明な結び目のザイフェルト曲面である。併し（一回半ひねりの）メビウスの輪は三葉結び目を境界に持つ曲面であるが、向き付け可能でないため、これはザイフェルト曲面ではない。さらに結び目 K に向きを込めて考えているときの K のザイフェルト曲面とは、実際に向きを付けられた曲面 Ω であって、その境界 ∂Ω が（ Ω 自身の向きから自然に誘導される）向きを込めて K と一致しているものをいう。 どのような結び目に対しても、そのような曲面が存在することを最初に証明したのはフランクル-ポントリャーギン（1930年）であるが、後に実際にそのような曲面を構成するアルゴリズムを見付けた（1934年）に因んで、ザイフェルト曲面と呼ばれる。