About: リーマン幾何学の基本定理

リーマン幾何学において、リーマン幾何学の基本定理(fundamental theorem of Riemannian geometry)は、任意のリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）には、捩れのない計量接続が一意的に存在するという定理である。この接続は、与えられた計量のレヴィ・チヴィタ接続(Levi-Civita connection)と呼ばれる。ここに、計量接続（あるいは、リーマン接続）は、計量テンソルを保存する接続である。正確には、 リーマン幾何学の基本定理：(M, g) をリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）とすると、一意に次の条件を満たす接続 ∇ が存在する。 * 任意のベクトル場 X, Y, Z に対し、ここに はベクトル場 X に沿った函数 の微分を表す。 * 任意のベクトル場 X, Y に対し、である。ここに [X, Y] はベクトル場 X, Y のリーのブラケットである。 第一の条件は、計量テンソルは平行移動により保存されることを意味し、一方、第二の条件は接続 ∇ の捩れテンソルが 0 であることを表している。 基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられると、一意に接続が存在し、任意のベクトル値 2-形式を持つ計量テンソルを捩れとして保存するという定理となる。