団代数(クラスター代数)は and によって導入された可換環のクラスです。ランクnのクラスター代数は、整域Aであって、サイズnの複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団(cluster)と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数Aを生成し、さまざまな条件を満足する。 Fが整域であると仮定します。たとえば、有理数Q上のn個の変数の有理関数の可換体Q (x1,...,xn)などがその例です。 ランクnの団(クラスター)は、Fのn個の要素{x, y, ...}のセットで構成され。それらのセットは、通常、体拡大Fの代数的に独立した生成セットであるとみなされます。 この式の右辺は、シード(種)の団(クラスター)の要素tをyとの関係(bt,yの正負)で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となるn変数多項式となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード(種)Aがシード(種)Bの変異である場合、 BはAの突然変異である。 団代数(クラスター代数)は、シード(種)の数が有限である場合、有限型であると言われる。 は、有限型の団代数(クラスター代数)が、有限次元ののディンキン図の観点点から分類できることを示しました。

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  • 団代数(クラスター代数)は and によって導入された可換環のクラスです。ランクnのクラスター代数は、整域Aであって、サイズnの複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団(cluster)と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数Aを生成し、さまざまな条件を満足する。 Fが整域であると仮定します。たとえば、有理数Q上のn個の変数の有理関数の可換体Q (x1,...,xn)などがその例です。 ランクnの団(クラスター)は、Fのn個の要素{x, y, ...}のセットで構成され。それらのセットは、通常、体拡大Fの代数的に独立した生成セットであるとみなされます。 シード(種)は、 Fの団(クラスター){x, y, ...}と交換行列Bとからなる。ただし、交換行列Bの要素bx,yは整数であり、団(クラスター)の要素のペアx,yによってインデックス付けされたものである。交換行列を交代行列(または歪対称行列)であると限定することもあり、その場合は、すべてのxおよびyに対してbx,y = –by,xである。より一般的には、交換行列は、歪対称化可能行列とされる。なお、歪対称化可能行列とは、そのすべての要素bx,yが、団 (クラスタ)の要素に関連付けられた正の整数のセット{dx,dy,...}を用いて、dxbx,y = –dyby,xと、交代行列(歪対称行列)に変換できるようなべて行列のことである。シード(種)は箙として視覚的に表現されることもよくある。箙は有向グラフであり、団(クラスター){x, y, ...}を頂点とし、交換行列のbx,yが正の場合、xからyにbx,y本の有向辺(矢印)を引いたものである。 交換行列が歪対称化可能行列である場合、箙はループまたは2サイクルを持ちません。 シード(種)には変異と呼ばれる変化があり異なるシード(種)に変わる。この変異は、団(クラスター)の要素(箙で言えば頂点)の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード(種)は、傾斜の一般化によって得られるが、それは次のような規則での交換行列Bの要素の変化と団(クラスター){x, y, ...}との変化からなる。変異を定める団(クラスター)の要素(箙の頂点)をyとする。交換行列Bの変化は次の通り。団(クラスター)内のすべてのxについて、bx,yおよびby,xの値を交換する。y以外の団(クラスター)の要素x,zについて、 bx,y > 0 かつ by,z > 0である場合には、bx,z を bx,yby,z + bx,zに置き換える。bx,y < 0 and by,z < 0である場合には、bx,z を -bx,yby,z + bx,zに置き換える。それ以外の場合(bx,y by,z ≤ 0の場合)には、bx,z は変えない。最後に、団(クラスター){x, y, ...}の変化を説明する。 yを新しい生成要素wに、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。 この式の右辺は、シード(種)の団(クラスター)の要素tをyとの関係(bt,yの正負)で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となるn変数多項式となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード(種)Aがシード(種)Bの変異である場合、 BはAの突然変異である。 団代数(クラスター代数)は、初期シードから、次のように構築される。あるシードの変異は、団(クラスター)の要素ごとに定まるから、そのすべての変異を行うこととし、それを繰り返す。シード(種)をグラフの頂点とし、1回の変異で移りあうシード(種)のペアを両端点とする辺を引くことにすると、可能なすべての変異の繰り返しにより、グラフが生成される。このグラフは有限グラフの場合と無限グラフの場合とがある。団代数(クラスター代数)の基礎となる代数は、このグラフのすべてのシード(種)に付随する団(クラスター)のすべての要素によって生成された代数である。シード(種)には、上記で述べていないその他の構造も付随しており、それに対応する団代数(クラスター代数)も存在する。 団代数(クラスター代数)は、シード(種)の数が有限である場合、有限型であると言われる。 は、有限型の団代数(クラスター代数)が、有限次元ののディンキン図の観点点から分類できることを示しました。 * Berenstein, Arkady; Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2005), “Cluster algebras. III. Upper bounds and double Bruhat cells”, 126 (1): 1–52, arXiv:, doi:10.1215/S0012-7094-04-12611-9, MR2110627 * Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan (2008), “Cluster algebras and triangulated surfaces, part I: Cluster complexes.”, Acta Mathematica 201: 83–146, arXiv:, doi:10.1007/s11511-008-0030-7 * Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), “Cluster algebras. I. Foundations”, 15 (2): 497–529, arXiv:, doi:10.1090/S0894-0347-01-00385-X, MR1887642 * Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2003), “Cluster algebras. II. Finite type classification”, 154 (1): 63–121, arXiv:, Bibcode: 2003InMat.154...63F, doi:10.1007/s00222-003-0302-y, MR2004457 * Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2007), “Cluster algebras. IV. Coefficients”, Compositio Mathematica 143 (1): 112–164, arXiv:, doi:10.1112/S0010437X06002521, MR2295199 * Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), “Root systems and generalized associahedra”, in Miller, Ezra; Reiner, Victor; , Geometric combinatorics, IAS/Park City Math. Ser., 13, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., arXiv:, Bibcode: 2005math......5518F, ISBN 978-0-8218-3736-8, MR2383126 * Marsh, Bethany R. (2013), Lecture notes on cluster algebras., Zurich Lectures in Advanced Mathematics, Zürich: European Mathematical Society (EMS), doi:10.4171/130, ISBN 978-3-03719-130-9, MR3155783 * Reiten, Idun (2010), Tilting theory and cluster algebras, Trieste Proceedings of Workshop, arXiv:, Bibcode: 2010arXiv1012.6014R * Zelevinsky, Andrei (2007), “What Is . . . a Cluster Algebra?”, AMS Notices 54 (11): 1494–1495. * FominのCluster algebra portal * 団代数(クラスター代数)関するFominの論文 * 団代数(クラスター代数)に関するゼレヴィンスキーの論文 (ja)
  • 団代数(クラスター代数)は and によって導入された可換環のクラスです。ランクnのクラスター代数は、整域Aであって、サイズnの複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団(cluster)と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数Aを生成し、さまざまな条件を満足する。 Fが整域であると仮定します。たとえば、有理数Q上のn個の変数の有理関数の可換体Q (x1,...,xn)などがその例です。 ランクnの団(クラスター)は、Fのn個の要素{x, y, ...}のセットで構成され。それらのセットは、通常、体拡大Fの代数的に独立した生成セットであるとみなされます。 シード(種)は、 Fの団(クラスター){x, y, ...}と交換行列Bとからなる。ただし、交換行列Bの要素bx,yは整数であり、団(クラスター)の要素のペアx,yによってインデックス付けされたものである。交換行列を交代行列(または歪対称行列)であると限定することもあり、その場合は、すべてのxおよびyに対してbx,y = –by,xである。より一般的には、交換行列は、歪対称化可能行列とされる。なお、歪対称化可能行列とは、そのすべての要素bx,yが、団 (クラスタ)の要素に関連付けられた正の整数のセット{dx,dy,...}を用いて、dxbx,y = –dyby,xと、交代行列(歪対称行列)に変換できるようなべて行列のことである。シード(種)は箙として視覚的に表現されることもよくある。箙は有向グラフであり、団(クラスター){x, y, ...}を頂点とし、交換行列のbx,yが正の場合、xからyにbx,y本の有向辺(矢印)を引いたものである。 交換行列が歪対称化可能行列である場合、箙はループまたは2サイクルを持ちません。 シード(種)には変異と呼ばれる変化があり異なるシード(種)に変わる。この変異は、団(クラスター)の要素(箙で言えば頂点)の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード(種)は、傾斜の一般化によって得られるが、それは次のような規則での交換行列Bの要素の変化と団(クラスター){x, y, ...}との変化からなる。変異を定める団(クラスター)の要素(箙の頂点)をyとする。交換行列Bの変化は次の通り。団(クラスター)内のすべてのxについて、bx,yおよびby,xの値を交換する。y以外の団(クラスター)の要素x,zについて、 bx,y > 0 かつ by,z > 0である場合には、bx,z を bx,yby,z + bx,zに置き換える。bx,y < 0 and by,z < 0である場合には、bx,z を -bx,yby,z + bx,zに置き換える。それ以外の場合(bx,y by,z ≤ 0の場合)には、bx,z は変えない。最後に、団(クラスター){x, y, ...}の変化を説明する。 yを新しい生成要素wに、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。 この式の右辺は、シード(種)の団(クラスター)の要素tをyとの関係(bt,yの正負)で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となるn変数多項式となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード(種)Aがシード(種)Bの変異である場合、 BはAの突然変異である。 団代数(クラスター代数)は、初期シードから、次のように構築される。あるシードの変異は、団(クラスター)の要素ごとに定まるから、そのすべての変異を行うこととし、それを繰り返す。シード(種)をグラフの頂点とし、1回の変異で移りあうシード(種)のペアを両端点とする辺を引くことにすると、可能なすべての変異の繰り返しにより、グラフが生成される。このグラフは有限グラフの場合と無限グラフの場合とがある。団代数(クラスター代数)の基礎となる代数は、このグラフのすべてのシード(種)に付随する団(クラスター)のすべての要素によって生成された代数である。シード(種)には、上記で述べていないその他の構造も付随しており、それに対応する団代数(クラスター代数)も存在する。 団代数(クラスター代数)は、シード(種)の数が有限である場合、有限型であると言われる。 は、有限型の団代数(クラスター代数)が、有限次元ののディンキン図の観点点から分類できることを示しました。 * Berenstein, Arkady; Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2005), “Cluster algebras. III. Upper bounds and double Bruhat cells”, 126 (1): 1–52, arXiv:, doi:10.1215/S0012-7094-04-12611-9, MR2110627 * Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan (2008), “Cluster algebras and triangulated surfaces, part I: Cluster complexes.”, Acta Mathematica 201: 83–146, arXiv:, doi:10.1007/s11511-008-0030-7 * Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), “Cluster algebras. I. Foundations”, 15 (2): 497–529, arXiv:, doi:10.1090/S0894-0347-01-00385-X, MR1887642 * Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2003), “Cluster algebras. II. Finite type classification”, 154 (1): 63–121, arXiv:, Bibcode: 2003InMat.154...63F, doi:10.1007/s00222-003-0302-y, MR2004457 * Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2007), “Cluster algebras. IV. Coefficients”, Compositio Mathematica 143 (1): 112–164, arXiv:, doi:10.1112/S0010437X06002521, MR2295199 * Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), “Root systems and generalized associahedra”, in Miller, Ezra; Reiner, Victor; , Geometric combinatorics, IAS/Park City Math. Ser., 13, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., arXiv:, Bibcode: 2005math......5518F, ISBN 978-0-8218-3736-8, MR2383126 * Marsh, Bethany R. (2013), Lecture notes on cluster algebras., Zurich Lectures in Advanced Mathematics, Zürich: European Mathematical Society (EMS), doi:10.4171/130, ISBN 978-3-03719-130-9, MR3155783 * Reiten, Idun (2010), Tilting theory and cluster algebras, Trieste Proceedings of Workshop, arXiv:, Bibcode: 2010arXiv1012.6014R * Zelevinsky, Andrei (2007), “What Is . . . a Cluster Algebra?”, AMS Notices 54 (11): 1494–1495. * FominのCluster algebra portal * 団代数(クラスター代数)関するFominの論文 * 団代数(クラスター代数)に関するゼレヴィンスキーの論文 (ja)
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  • 団代数(クラスター代数)は and によって導入された可換環のクラスです。ランクnのクラスター代数は、整域Aであって、サイズnの複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団(cluster)と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数Aを生成し、さまざまな条件を満足する。 Fが整域であると仮定します。たとえば、有理数Q上のn個の変数の有理関数の可換体Q (x1,...,xn)などがその例です。 ランクnの団(クラスター)は、Fのn個の要素{x, y, ...}のセットで構成され。それらのセットは、通常、体拡大Fの代数的に独立した生成セットであるとみなされます。 この式の右辺は、シード(種)の団(クラスター)の要素tをyとの関係(bt,yの正負)で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となるn変数多項式となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード(種)Aがシード(種)Bの変異である場合、 BはAの突然変異である。 団代数(クラスター代数)は、シード(種)の数が有限である場合、有限型であると言われる。 は、有限型の団代数(クラスター代数)が、有限次元ののディンキン図の観点点から分類できることを示しました。 (ja)
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  • Cluster algebra (ja)
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