About: 基本アーベル群

群論における基本アーベル群（きほんアーベルぐん、英: elementary abelian group; 初等アーベル群）または基本アーベル p-群 (elementary abelian p-group) は任意の非自明な元が位数 p であるような群（とくに有限群）を言う。この p は素数でなければならず、任意の基本アーベル群は特別な p-群となる。p = 2 の場合、すなわち基本アーベル 2-群のことをブール群 (Boolean group) と呼ぶ場合がある。 任意の基本アーベル p-群は p-元体上の有限次元ベクトル空間の構造を持ち、逆にそのようなベクトル空間は基本アーベル群となる。有限生成アーベル群の構造定理により、あるいは任意のベクトル空間が基底を持つという事実から、任意の有限基本アーベル群は (Z/pZ)n（n はこの群の階数と呼ばれる非負整数）の形になることがわかる。ここに、Z/pZ は位数 p の巡回群（あるいは p を法とする整数の加法群）であり、上付き添字の n は n-重直積を表す。一般に（有限とは限らない）基本アーベル p-群は位数 p の巡回群の適当な個数の直和となる（因子が有限個の場合には直積と直和は同じものであるが、無限の場合にはそうでないことに注意） 以下有限群の場合について述べる。