About: 高さ函数

ディオファントス幾何学の高さ函数とは、ディオファントス方程式の解のサイズを測る函数である。古典的あるいはナイーブな高さは、斉次座標上通常の絶対値によって定義される。しかし、ディオファントス幾何学での高さは、対数のスケールで測り、すなわち、高さは『代数的複雑さ』や点を記述することに必要なビットの数に比例するものとなる。 高さ函数は最初、アンドレ・ヴェイユ (André Weil) とノースコット (D. G. Northcott) により開拓された。1960年頃の大きな進展がネロン・テイトの高さであり、代数幾何学での豊富なラインバンドルの方法で、射影的な表現と関連付けられ、現在では、数論幾何学の重要な考え方となっている。 楕円曲線 E の場合には、E(Q) 上の点 P に対して、高さ函数 h(P) を次のように定義する。 1. * 無限遠点 P0 の高さ とする。 2. * E(Q) 上の有理点であるような P に対して、 とする。 3. * 上記以外の E(Q) の点 P に対して、P の有理数の横軸座標(abscissa) x が p と q は互いに素な整数として p⁄q と表せるときに、と定義する。