About: 離散付値環

離散付値環（りさんふちかん、英: discrete valuation ring、略して DVR）とは、抽象代数学においてちょうど1つの0でない極大イデアルをもつ単項イデアル整域（PID）である。 このことは DVR は次の同値な条件のうち1つを満たす整域 R であることを意味する。 1. * R は局所環かつ単項イデアル整域であって、体でない。 2. * R は付値環であって、その値群は整数のなす加法群と同型。 3. * R は局所環かつデデキント整域であって、体でない。 4. * R はクルル次元1のネーター的局所環であって、R の極大イデアルは単項である。 5. * R はクルル次元1の整閉ネーター局所環である。 6. * R は唯一の0でない素イデアルをもつ PID である。 7. * R は（単元倍を除いて）唯一の既約元をもつ PID である。 8. * R は（単元倍を除いて）唯一の既約元をもつ一意分解整域である。 9. * R は体でなく、R のすべての0でない分数イデアルは、それを真に含む分数イデアルの有限個の共通部分として書けないという意味で、既約である。 10. * R の分数体 K 上の離散付値 ν であって R = {x : x ∈ K, ν(x) ≥ 0} となるものが存在する。