About: 包除原理

包除原理（ほうじょげんり、英: Inclusion-exclusion principle, principle of inclusion and exclusion, Principle of inclusion-exclusion, PIE）あるいは包含と排除の原理とは、数え上げ組合せ論における基本的な結果のひとつ。特別な場合には「有限集合 A と B の和集合に属する元の数を計算するには、まずそれぞれに属する元の数 |A| と |B| を足しあわせた後、それらの共通部分に属する元の数 |A ∩ B| を引き去ればよい」というものである。つまり単に数え上げた後で重複を取り除くことに相当する。 以上の2つの有限集合 A, B に対する包除原理は次のように表せる。 同様に、3つの有限集合 A, B, C に対する包除原理は次のように表せる。 一般に、 n 個の有限集合 A1, ..., An が与えられたとき、その和集合に属する元の数は と表せる。ただし、ここで [n] = {1, 2, …, n} とした。 この原理の名称は、あらゆるものを「含め」、その後で「取り除いて」補正をするという考え方に基づいていることからきている。n > 2 のとき、共通部分の補正項を計算するのが非常に困難になることもある。また、公式には符号が交互にあらわれる。