About: トーラス上の線型フロー

数学の、特に力学系理論として知られる解析学の分野において、n-次元トーラス 上の線型フロー（せんけいフロー、英: linear flow）とは、標準的な角度座標 (θ1, θ2, ..., θn) に関する次の微分方程式によって表現されるフローのことを言う： この方程式の解は次の様に陽的に表現される： トーラスを Rn/Zn と表すなら、始点はフローによって ω=(ω1, ω2, ..., ωn) の方向に一定速度で移動されることが分かる。またそのフローがユニタリ n-立方体の境界に到達した場合は、その反対側の面に移動される。 トーラス上の線型フローに対して、すべての軌道は周期的であるか、n-次元トーラスの部分集合で k-次元トーラスであるようなものの上で稠密である。ω の成分が有理独立であるなら、すべての軌道は全空間で稠密である。これは二次元の場合には簡単に分かる：すなわち、ω の二つの成分が有理独立であるなら、単位正方形の辺上でのフローのポアンカレ切断面は、円上の無理回転であり、したがってその軌道は円上で稠密で、結果としてトーラス上で稠密となる。