About: スペクトル法

スペクトル法は、主に高速フーリエ変換を用いた微分方程式の数値解法の総称であり、応用数学や科学計算で使用されている。 微分方程式の解をある「基底関数」の和によって近似し、方程式を充足する和の係数を求める。基底関数の選び方としては、例えば正弦波を用いる方法があり、この場合の解の近似表現はフーリエ級数になる。 スペクトル法は有限要素法と密接に関連しており、基本的にはどちらも同じアイデアに基づいている。これらの主な違いは、近似に用いる基底関数の定義域にある。スペクトル法は近似対象とする関数の定義域全体に渡って非零になるような基底関数を使用するため全体をカバーできるのに対し、有限要素法はある点の近傍など限られた範囲にのみ基底関数を用い、残りはゼロであると仮定する。こうした理由から、スペクトル法と有限要素法はそれぞれ、大域的アプローチ、局所的アプローチと呼ばれ区別される。 スペクトル法を使用すると、 常微分方程式 （ODE）や偏微分方程式 （PDE）などの微分方程式を含む固有値問題を解くことができる。 時間依存のPDEにスペクトル法を適用した場合、解は時間依存の係数を持つ基底関数の合計として記述される。これをPDEに代入すると、ODEの任意の数値法を使用して解くことができる係数のODEシステムが生成される。 ODEの固有値問題も同様に行列固有値問題に変換される 。