About: コーシーの函数方程式

数学の実解析におけるコーシーの函数方程式（コーシーのかんすうほうていしき、英: Cauchy's functional equation）は、オーギュスタン・ルイ・コーシーがその著書『解析教程』において扱ったことに名を因む、 で与えられる函数方程式である。一般に、この方程式を満足する函数・写像は加法的であると言う（しかし、以下、本項では f として実函数の場合のみを取り扱う）。 * この方程式を ℚ 上で（つまり有理変数有理数値の函数）で考える場合、初等代数学的な方法で解函数が f: x ↦ cx (c は有理数) という形の函数族（ℚ-線型写像）のみであることが確かめられる。 ℝ 上で実函数解を考えるとき、c を任意の実数に取り換えた族 f: x ↦ cx はやはりこの方程式の解となるが、それ以外にも極めて複雑な解が存在しうる。それでもなお、適当な「正則性条件」を設定することによって、病的な解を排除することはできる（中には極めて弱い条件のものもある）。例えば、加法的函数 f: ℝ → ℝ が ℝ-線型となる条件として以下のようなものが挙げられる: ヒルベルトのはこの方程式の一般化である。実数 c が存在して f(cx) ≠ cf(x) となるような解函数は、コーシー-ハメル函数と呼ばれ、を三次元からより高次元へ拡張するのに用いるデーン-ハドヴィガー不変量に用いられる。