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- 数学の複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである： ここで は任意の複素数、 はネイピア数、 は虚数単位、 は余弦関数、 は正弦関数である。 特に、 とする場合がよく使われ、この場合、 は、絶対値 , 偏角 の複素数に等しい。 オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 (ja)
- 数学の複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである： ここで は任意の複素数、 はネイピア数、 は虚数単位、 は余弦関数、 は正弦関数である。 特に、 とする場合がよく使われ、この場合、 は、絶対値 , 偏角 の複素数に等しい。 オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 (ja)
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- 微分方程式を用いた証明を示す。 を実数、 の関数 を以下のように定義する。
:
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
:
によって を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
に を代入すると
を得る。 の両辺を について微分し、両辺に虚数単位 を掛けると以下のようになる。
と より
を得る。任意の 0 でない複素数 について、関数 は次の関係を満たす。
と を見比べ、 と置き換えれば、f = 1 より
が成り立つ。最後に および から を消去すればオイラーの公式が得られる。
: (ja)
- 微分方程式を用いた証明を示す。 を実数、 の関数 を以下のように定義する。
:
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
:
によって を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
に を代入すると
を得る。 の両辺を について微分し、両辺に虚数単位 を掛けると以下のようになる。
と より
を得る。任意の 0 でない複素数 について、関数 は次の関係を満たす。
と を見比べ、 と置き換えれば、f = 1 より
が成り立つ。最後に および から を消去すればオイラーの公式が得られる。
: (ja)
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- 複素指数関数とオイラーの公式 (ja)
- 複素指数関数とオイラーの公式 (ja)
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- eulerformula (ja)
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- 数学の複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである： ここで は任意の複素数、 はネイピア数、 は虚数単位、 は余弦関数、 は正弦関数である。 特に、 とする場合がよく使われ、この場合、 は、絶対値 , 偏角 の複素数に等しい。 オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 (ja)
- 数学の複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである： ここで は任意の複素数、 はネイピア数、 は虚数単位、 は余弦関数、 は正弦関数である。 特に、 とする場合がよく使われ、この場合、 は、絶対値 , 偏角 の複素数に等しい。 オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 (ja)
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- オイラーの公式 (ja)
- オイラーの公式 (ja)
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