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  • 数学の線型代数学周辺分野における行列(ぎょうれつ、英: matrix)は、数や記号や式などを行(ぎょう、英: row)と列(れつ、英: column)に沿って矩形状に配列したものである。行とは数の横の並びを表わし、列は数の縦の並びを表わす。並べられた個々のものはその行列の要素(ようそ、英: element)または成分(せいぶん、英: entry, component)と呼ぶ。行の数が m 個で列の数が n 個の行列は m 行 n 列の行列と呼ばれ、しばしば m × n 行列と表記される。行の数と列の数が同じ行列は加法と減法が成分ごとの計算によって与えられる(たとえば 1 行 3 列の行列同士で加法と減法を考えることができるが、2 行 2 列の行列と 2 行 1 列の行列の加法および減法は定義されない)。行列の乗法の計算はもっと複雑で、2 つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない(たとえば 1 行 2 列の行列を 2 行 3 列の左から掛けることはできるが、右から掛けることはできない)。行列の応用として顕著なものは一次変換の表現である。一次変換は f (x) = 4x のような一次関数の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの回転などは一次変換であり、R が回転行列で v が空間の点の位置を表す列ベクトル(1 列しかない行列)のとき、積 Rv は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また 2 つの行列の積は、2 つの一次変換の合成を表現するものとなる。行列の別な応用としては、連立一次方程式の解法におけるものである。行列が正方行列であるならば、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が正則であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。固有値や固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に物理学において行列は、電気回路、光学、量子力学などの研究に利用される。コンピュータ・グラフィックスでは三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。行列微分学は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。主要な数値解析の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。関数のテイラー級数に対して作用する微分の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。
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  • 数学の線型代数学周辺分野における行列(ぎょうれつ、英: matrix)は、数や記号や式などを行(ぎょう、英: row)と列(れつ、英: column)に沿って矩形状に配列したものである。行とは数の横の並びを表わし、列は数の縦の並びを表わす。並べられた個々のものはその行列の要素(ようそ、英: element)または成分(せいぶん、英: entry, component)と呼ぶ。行の数が m 個で列の数が n 個の行列は m 行 n 列の行列と呼ばれ、しばしば m × n 行列と表記される。行の数と列の数が同じ行列は加法と減法が成分ごとの計算によって与えられる(たとえば 1 行 3 列の行列同士で加法と減法を考えることができるが、2 行 2 列の行列と 2 行 1 列の行列の加法および減法は定義されない)。行列の乗法の計算はもっと複雑で、2 つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない(たとえば 1 行 2 列の行列を 2 行 3 列の左から掛けることはできるが、右から掛けることはできない)。行列の応用として顕著なものは一次変換の表現である。一次変換は f (x) = 4x のような一次関数の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの回転などは一次変換であり、R が回転行列で v が空間の点の位置を表す列ベクトル(1 列しかない行列)のとき、積 Rv は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また 2 つの行列の積は、2 つの一次変換の合成を表現するものとなる。行列の別な応用としては、連立一次方程式の解法におけるものである。行列が正方行列であるならば、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が正則であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。固有値や固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に物理学において行列は、電気回路、光学、量子力学などの研究に利用される。コンピュータ・グラフィックスでは三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。行列微分学は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。主要な数値解析の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。関数のテイラー級数に対して作用する微分の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。
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  • 行列
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