About: 四元数

数学における四元数（しげんすう、英: quaternion（クォターニオン））は複素数を拡張した数体系である。四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、三次元空間の力学に応用された。四元数の特徴は、二つの四元数の積が非可換となることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算でも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は実数体上四次元の結合的ノルム多元体を成し、またそれゆえに（非可換の）整域となる。実は四元数の全体は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字で ℍ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数の分類に従って Cℓ0,2(R) ≅ Cℓ03,0(R) というクリフォード代数として定義することもできる。この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数の全体 R を真の部分環として含む有限次元可除環の二種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数の全体 C）だからである。従って、単位四元数は三次元球面 S3 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 Spin(3)を与える。これは SU(2) に同型、あるいはまた SO(3) の普遍被覆に同型である。